2012/05/04 01:05

C : 누적크레딧, P : 인구 라 하고, 이들이 시간 t에 의존하는 함수라고 하자. 그리고 P(0)를 원래의 인구수라고 하자.

그러면 삼형제님의 크레딧 증가율에 관한 고찰에 나오는 식을 이용하면,

크레딧의 증가율은 (dC/dt)=k(1.2-2k)*P/5000 이다. (행복도가 세율에 따라 바로 변한다는 가정)

여기서 k는 세율이며 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4의 값을 갖는다. k=0.5일 때, (dC/dt)=0 이므로 고려하지 않는다.

이를 다시 t에 관하여 미분하면 (d^2C/dt^2)=k(1.2-2k)*(dP/dt)/5000이 된다. (P가 t에 관한 함수이므로...)

(dP/dt)는 인구 증가율으로써 세율이 0일때 인구 증가율을 r이라 하고, 식으로 나타내면 

(dP/dt)= r*(1-2k)이고 대입하면

(d^2C/dt^2)= r*k*(1.2-2k)*(1-2k)/5000이다.

크레딧 증가율을 시간에 관한 함수로 나타내기 위하여 2차 미분계수를 t에 관하여 적분하면

(dC/dt)= r*k*(1.2-2k)*(1-2k)*t/5000 + (dC/dt)(0) =  r*k*(1.2-2k)*(1-2k)*t/5000 + k(1.2-2k)*P(0)/5000

다시 이를 t에 관하여 적분하면

C = r*k*(1.2-2k)*(1-2k)*(t^2)/10000 + k(1.2-2k)*P(0)*t/5000 (누적 증가량에 관심 있으므로 C(0)=0이라 가정)

따라서 r에 인구 증가율, k에 세율을 넣고, P(0)에 현재 인구수를 넣으면 크레딧이 쌓이는 양을 알 수가 있다.

t^2 항이 가장 major한 항이므로 t^2의 계수만 고려하면 k=0.2일때 이 계수가 최대이고, 충분한 시간이 지난 후 C가 k가 다른 값을 가질때에 비해 최대가 됨을 알 수 있다.


결론 : 세율 20%가 편하게 클딧 늘리기엔 가장 좋음. 단, 이는 세율 변화를 전혀 하지 않았을 경우임.

          따라서 다음 시간엔 세율을 낮춰서 인구를 늘린 후, 다시 세율을 높이는 전략을 쓰는 경우를 고려해볼 것임.